Закон био савара лапласа физический смысл

Закон Био — Савара — Лапласа

Закон био савара лапласа физический смысл

    Введение
  • 1 Формулировка
    • 1.1 Для тока текущего по контуру (тонкому проводнику)
    • 1.2 Для распределенных токов
    • 1.3 Следствия
  • 2 Вывод из уравнений Максвелла
  • Примечания
    Литература

Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током.

Был установлен экспериментально в 1820 году Био и Саваром и сформулирован в общем виде Лапласом. Лаплас показал также, что с помощью этого закона можно вычислить магнитное поле движущегося точечного заряда (считая движение одной заряженной частицы током).

Закон Био—Савара—Лапласа играет в магнитостатике ту же роль, что и закон Кулона в электростатике, и глубоко аналогичен ему. Закон Био—Савара—Лапласа можно считать главным законом магнитостатики, получая из него остальные ее результаты (так же, как закон Кулона для электростатики, получая остальные ее результаты получить исходя из него).

В современной формулировке закон Био—Савара—Лапласа чаще рассматривают как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля, т.е. в современной формулировке уравнения Максвелла выступают как более фундаментальные (прежде всего хотя бы потому, что формулу Био—Савара—Лапласа нельзя просто обобщить на общий случай полей, зависящих от времени).

1.1. Для тока текущего по контуру (тонкому проводнику)

Пусть постоянный ток I течёт по контуру (проводнику)γ, находящемуся в вакууме,  — точка, в которой ищется поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом (в системе СИ)

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, r – положение точек контура γ, dr – вектор элемента контура, вдоль которого идет проводник (ток течет вдоль него); μ0 – константа (магнитная проницаемость вакуума).

Направление перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора и . Направление вектора магнитной индукции может быть найдено по правилу правого винта: направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора определяется выражением (в системе СИ)

Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)

1.2. Для распределенных токов

Для случая, когда источником магнитного поля являются распределенные токи, характеризуемые полем вектора плотности тока j, формула закона Био — Савара принимает вид (в системе СИ):

где j = j(r), dV – элемент объема, а интегрирование производится по всему пространству (или по всем его областям, где j0), r – соответствует текущей точке при интегрировании (положению элемента dV).

1.3. Следствия

Хотя в современном подходе, как правило, сам закон Био-Савара выступает следствием уравнений Максвелла, однако исторически его открытие предшествовало уравнениям Максвелла, поэтому уравнения Максвелла для случая магнитостатики можно рассматривать как следствия закона Био-Савара.

С чисто формальной точки зрения в случае магнитостатики оба подхода можно считать равноправнями, т.е.

в этом смысле то, что из них считать исходными положениями, а что следствиями, зависит от выбора аксиоматизации, который в случае магнитостатики может быть тем или другим с равным формальным правом и практически равным удобством.

Основными следствиями закона Био-Савара являются (в указанном выше смысле) уравнения Максвелла для случая магнитостатики, в интегральной форме имеющие вид

-вариант теоремы Гаусса для магнитного поля (это уравнение остается в электродинамике неизменным и для общего случая)

и

– уравнение для циркуляции магнитного поля в магнитостатике (здесь дано для случая вакуума, в системе СИ). Эта формула (и вывод ее из закона Био-Савара) есть содержание теоремы Ампера о циркуляции магнитного поля.

Дифференциальная форма этих уравнений:

где j — плотность тока (запись в системе СИ, в гауссовой системе единиц константа вместо μ0 принимает вид ).

2. Вывод из уравнений Максвелла

Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид (в системе СГС)

где  — плотность тока в пространстве. При этом электрическое и магнитное поля оказываются независимыми. Воспользуемся векторным потенциалом для магнитного поля (в системе СГС):

Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие:

Раскрывая двойной ротор по формуле векторного анализа, получим для векторного потенциала уравнение типа уравнения Пуассона:

Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:

Тогда магнитное поле определяется интегралом (в системе СГС)

аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать точным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к повторному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что

получим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.

Литература

  • Сивухин Д. В.

Источник: http://wreferat.baza-referat.ru/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%91%D0%B8%D0%BE-%D0%A1%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B0

Для тока, текущего по контуру (тонкому проводнику)

Пусть постоянный ток течёт по контуру (проводнику) , находящемуся в вакууме,  — точка, в которой ищется (наблюдается) поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом (в Международной системе единиц (СИ))

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, — положение точек контура , — вектор элемента контура (ток течет вдоль него); — магнитная постоянная; — единичный вектор, направленный от элемента контура к точке наблюдения.

  • В принципе контур может иметь ветвления, представляя собой сколь угодно сложную сеть. В таком случае под выражением, приведенным выше, следует понимать сумму по всем ветвям, слагаемое же для каждой ветви является интегралом приведенного выше вида (контур интегрирования для каждой ветви может быть при этом незамкнутым).
  • В случае простого (неветвящегося) контура (и при выполнении условий магнитостатического приближения, подразумевающих отсутствие накопления зарядов), ток одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла. (Это справедливо отдельно и для каждого неразветвленного участка разветвленной цепи).

Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:

где — вектор, описывающий кривую проводника с током , — модуль , — вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника .

Направление перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и . Направление вектора магнитной индукции может быть найдено по правилу правого винта: направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора определяется выражением (в системе СИ)

где — угол между вектором (радиус-вектором, проведенным от элемента проводника к точке, в которой ищется (наблюдается) поле) и элементом проводника.

Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)

Для распределенных токов

Для случая, когда источником магнитного поля являются распределенные токи, характеризуемые полем вектора плотности тока j, формула закона Био — Савара принимает вид (в системе СИ):

где j = j(r), dV – элемент объема, а интегрирование производится по всему пространству (или по всем его областям, где j0), r – соответствует текущей точке при интегрировании (положению элемента dV).

Векторный потенциал:

Следствия

Хотя в современном подходе, как правило, сам закон Био-Савара выступает следствием уравнений Максвелла, однако исторически его открытие предшествовало уравнениям Максвелла, поэтому уравнения Максвелла для случая магнитостатики можно рассматривать как следствия закона Био-Савара.

С чисто формальной точки зрения в случае магнитостатики оба подхода можно считать равноправными, т.е.

в этом смысле то, что из них считать исходными положениями, а что следствиями, зависит от выбора аксиоматизации, который в случае магнитостатики может быть тем или другим с равным формальным правом и практически равным удобством.

Основными следствиями закона Био-Савара являются (в указанном выше смысле) уравнения Максвелла для случая магнитостатики, в интегральной форме имеющие вид

-вариант теоремы Гаусса для магнитного поля (это уравнение остается в электродинамике неизменным и для общего случая)

и

– уравнение для циркуляции магнитного поля в магнитостатике (здесь дано для случая вакуума, в системе СИ). Эта формула (и вывод ее из закона Био-Савара) есть содержание теоремы Ампера о циркуляции магнитного поля.

Дифференциальная форма этих уравнений:

где j — плотность тока (запись в системе СИ, в гауссовой системе единиц константа вместо принимает вид ).

Вывод из уравнений Максвелла

Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид (в системе СГС)

где  — плотность тока в пространстве. При этом электрическое и магнитное поля оказываются независимыми. Воспользуемся векторным потенциалом для магнитного поля (в системе СГС):

Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие:

Раскрывая двойной ротор по формуле векторного анализа, получим для векторного потенциала уравнение типа уравнения Пуассона:

Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:

Тогда магнитное поле определяется интегралом (в системе СГС)

аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать точным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к повторному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что

получим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.

Применение

Пусть требуется найти модуль магнитной индукции в центре очень тонкой (все витки уложены вблизи одной окружности) катушки с числом витков , по которой течет ток . Найдём магнитную индукцию, создаваемую одним витком катушки. Из формулы

получим модуль магнитной индукции как

где — радиус катушки (в данном случае — константа), — угол между вектором (радиус-вектором из центра витка к элементу витка) и (элементом витка) — равен .

Проинтегрировав обе части, получаем

где — сумма длин всех элементов проводника витка, в данном случае — длина окружности, тогда

Так как в катушке содержится витков, то суммарный модуль магнитной индукции равен

Литература

Источник: https://www.turkaramamotoru.com/ru/-106760.html

Закон Био-Савара-Лапласа и его полевая трактовка

Закон био савара лапласа физический смысл

Уравнение, описывающее возникновение магнитного поля электрическим током, называется законом Био-Савара-Лапласа. Био и Савар установили его экспериментально, Лаплас облек в его математическую форму. Для замкнутого тока данный закон записывается как:

где $\overrightarrow{r}$ — радиус-вектор, проведенный от элемента тока $Id\overrightarrow{l}$ к точке, в которой ищется индукция магнитного поля ($\overrightarrow{B}$), ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}{-7}\frac{Гн}{м}(в\ СИ)$ – магнитная постоянная. Интегрирование проводят по замкнутому контуру тока. Считается, что ток является линейным. Для объемных токов закон Био — Савара-Лапласа записывается в несколько ином виде:

В формуле (2) интегрирование проводят по всем областям пространства, где присутствуют объемные токи, $\overrightarrow{j}$- плотность тока. Оба выражения (1) и (2) применимы только для постоянных токов.

Элементарная формулировка закона

Элементарном виде закон Био-Савара – Лапласа записывают соответственно:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где модуль элемента индукции магнитного поля равен:

или

Постоянные токи всегда замкнуты. Все наблюдаемые величины остались бы неизменными, если в правую часть формулы (3) добавить произвольное слагаемое, интеграл от которого по замкнутому контуру обращается в ноль.

Из этого следует, что в рамках учения о постоянных токах элементарный закон Био — Савара – Лапласа в формах (3) и (5) принципиально невозможно проверить опытным путем. Нельзя выделить на практике отдельные элементы постоянных токов и проводить с ними эксперименты.

Опытной проверке можно подвергнуть только интегральные формы данного закона (1), (2).

Закон Био — Савара — Лапласа применяют для расчета магнитных полей. Векторы $d\overrightarrow{B},d\overrightarrow{l\ }и\ \overrightarrow{r}\ $ связаны правилом правого винта. Вектор $d\overrightarrow{B}$ перпендикулярен плоскости в которой находятся $d\overrightarrow{l\ }и\ \overrightarrow{r}$.

В тех случаях, когда проводник с током и точка, где ищется поле, лежат в одной плоскости, все элементарные векторы поля направлены вдоль одной прямой. В остальных случаях $d\overrightarrow{B}$ не лежат не одной прямой. Магнитное поле элемента тока имеет осевую симметрию.

Если магнитное поле имеет осевую симметрию, точка в которой ищут поле лежит на этой оси, то искомый вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси симетрии.

Полевая трактовка закона

Аналогично электростатике взаимодействие элементов тока представляют двумя стадиями.

  1. Один из элементов тока ($I_1dl_1$) создает магнитное поле в точке, где находится второй ток ($I_2dl_2$):
  2. \[d\overrightarrow{B_{12}}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I_1\left[d\overrightarrow{l_1}\overrightarrow{r_{12}}\right]}{{r_{12}}3}\left(6\right).\]

  3. Второй элемент тока ($I_2dl_2$) взаимодействует с магнитным полем $d\overrightarrow{B_{12}}$, что ведет к возникновению силы $d\overrightarrow{F_{12}}:$
  4. \[d\overrightarrow{F_{12}}=I_2dl_2\times d\overrightarrow{B_{12}}\ \left(7\right).\]

Пример 1

Задание: По плоскому контуру, который изображен на рис.1 течет постоянный ток силы I. Угол, между прямолинейными участками контура равен 900. Радиусы контуров $R_1$ и $R_2$. Какова магнитная индукция в точке C?

Рис. 1

Решение:

В точке С магнитное поле создают четыре проводника с током. Два из них прямолинейные, конечной длины, два являются частями витков с током.

В качестве основы для решения задачи используем закон Био — Савара — Лапласа в виде:

\[\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\oint{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}\left(1.1\right).\]

Выделим в интеграле (1.1) четыре интеграла, по количеству участков — проводников:

\[\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\left(\int\limits_1{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}+\int\limits_2{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}+\int\limits_3{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}+\int\limits_4{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}\right)\left(1.2\right).\]

В подынтегральном выражении мы имеем векторное произведение, модуль которого равен:

\[\left|d\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{r}\right|=\left|d\overrightarrow{l}\right|\left|\overrightarrow{r}\right|{sin \left(\widehat{\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}}\right)\ }\left(1.3\right).\]

В таком случае, получим, что

\[\int\limits_2{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}=0\ (1.4)\]

так как для данного участка проводника $d\overrightarrow{l}\uparrow \downarrow \overrightarrow{r}$, следовательно, угол между этими векторами равен 1800, следовательно, $sin\pi =0.$

\[\int\limits_4{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}=0(1.5).\]

для данного участка проводника $d\overrightarrow{l}\uparrow \uparrow \overrightarrow{r}$, следовательно, угол между этими векторами равен 00, следовательно, $sin0=0.$

В соответствии с приведенными выше рассуждениями получаем, что поле в точке С можно найти как сумму двух интегралов:

\[\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\left(\int\limits_1{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}+\int\limits_3{\frac{I\left[d\overrightarrow{l}\overrightarrow{r}\right]}{r3}}\right)\left(1.6\right).\]

Или как сумму полей двух токов, которые текут в двух дугах окружностей. Для дуги окружности запишем:

\[r=R,\overrightarrow{dl}\bot \overrightarrow{R},\ sin\frac{\pi }{2}=1,\ sin\frac{d\alpha }{2}=\frac{dl}{2R},d\alpha -мал,sin\frac{d\alpha }{2}\approx \frac{d\alpha }{2}\ \to Rd\alpha =dl.\]

Для части окружности с током элемент поля для точки в центре можно записать как:

\[dB=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\frac{R}{R2}d\alpha =\frac{{\mu }_0I}{4\pi R}d\alpha (1.7),\]

где ${\alpha }_1\le \alpha \le {\alpha }_2$.

Тогда для части окружности с радиусом $R_1$ запишем, что элемент поля в точке С равен:

\[B_1=\frac{{\mu }_0I}{4\pi R_1}\int\limits{\frac{\pi }{2}}_0{d\alpha }=\frac{{\mu }_0\pi I}{8\pi R_1}\ \left(1.8\right)\]

для части окружности с радиусом $R_2$ запишем, что элемент поля в точке С равен:

\[B_2=\frac{{\mu }_0I}{4\pi R_2}\int\limits0_{\frac{\pi }{2}}{d\alpha }=-\frac{{\mu }_0\pi I}{8\pi R_2}\ \left(1.9\right).\]

Результирующее поле равно:

\[\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0I\overrightarrow{e_z}}{8}\left[\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right],\]

где $\overrightarrow{e_z}$- единичный орт, направленный перпендикулярно плоскости чертежа.

Ответ: $\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0I\overrightarrow{e_z}}{8}\left[\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right].$

Пример 2

Задание: Проводник имеет сечение формы тонкого полукольца с радиусом R. По нему течет ток силой I. Найдите индукцию магнитного поля в точках на оси полого полуцилиндра.

Решение:

Рис. 2

Для решения задачи, данный проводник необходимо рассматривать как совокупность множества нитей с током, которые имею форму полуокружностей. Результирующая магнитная индукция будет направлена вдоль оси X (рис.2).

Индукцию одной нити будем искать с помощью закона Био — Савара — Лапласа.

Для части окружности с током элемент поля для точки в центре можно записать как:

\[dB'=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\frac{dlcos\varphi }{r2}(2.1),\]

где $cos\varphi =sin (\alpha )$, где $\alpha $ — угол между элементом тока и радиус-вектором точки ($\overrightarrow{r}$), где ищем поле. Рассматривая треугольник, который построен на элементе dl, в котором можно записать:

\[l=rsin\varphi ,\ Rtg\varphi =l\to dl=R\frac{d\varphi }{{cos}2\varphi }\] \[r=\frac{R}{cos\varphi }\left(2.2\right).\]

Тогда в центре полуокружности одна нить с током создает магнитное поле с индуктивностью равной:

\[B'=\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\int\limits{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{2}}{\frac{Rcos\varphi d\varphi }{{cos}2\varphi R2}{cos}2\varphi =\frac{{\mu }_0I}{4\pi }\int\limits{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{2}}{\frac{cos\varphi d\varphi }{R}}=}\frac{{\mu }_0I}{4\pi R}sin{\left.\varphi \right|}{\frac{\pi }{2}}_{-\frac{\pi }{2}}=\frac{{\mu }_0I}{2R}\left(2.3\right).\]

Индукцию всего проводника найдем как:

\[B=\int\limits{\pi }_0{dB'}sin\beta \left(2.4\right),\]

где $dB'$- запишем как:

\[dB'=\frac{\mu_0dI}{2\pi R}\left(2.5\right).\]

Элемент тока в нашем случае можно записать как:

\[dI=\frac{I}{l}dl=\frac{I}{l}Rd\beta \left(2.6\right).\]

Подставим (2.6) в (2.5), за тем в (2.4), найдем искомую величину:

\[B=\int\limits{\pi }_0{\frac{{\mu }_0IRd\beta }{2R\pi l}}sin\beta =\frac{{\mu }_0I}{2\pi l}\int\limits{\pi }_0{sin\beta d\beta }=\frac{{\mu }_0I}{2\pi l}(-cos\beta ){\pi }_0=\frac{{\mu }_0I}{\pi l}\left(2.7\right).\]

Длина полуокружности равна:

\[l=\pi R\ \left(2.8\right).\]

Ответ: $B=\frac{{\mu }_0I}{{\pi }2R}.$

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/postoyannoe_magnitnoe_pole/zakon_bio-savara-laplasa_i_ego_polevaya_traktovka/

По закону
Добавить комментарий