Правило сложения перемещений

Закон сложения скоростей

С помощью закона сложения скоростей определяется скорость материальной точки относительно неподвижной системы отсчета.

Механическим движением называют изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

В этом определении ключевой является фраза «относительно других тел». Каждый из нас относительно какой-либо поверхности неподвижен, но относительно Солнца мы совершаем вместе со всей Землей орбитальное движение со скоростью 30 км/с, то есть движение зависит от системы отсчета.

Система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом, относительно которого изучается движение.

Например, описывая движения пассажиров в салоне автомобиля, систему отсчета можно связать с придорожным кафе, а можно с салоном автомобиля или с движущимся встречным автомобилем, если мы оцениваем время обгона

Если тело движется относительно системы отсчета К1 со скоростью V1, а сама система отсчета К1 движется относительно другой системы отсчета К2 со скоростью V, то скорость тела (V2) относительно второй системы отсчета К2 равна геометрической сумме векторов V1 и V.

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.

\( \vec{V_2} = \vec{V_1} + \vec{V} \)

где всегда
К2 – неподвижная система отсчета
V2 – скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (К2)

К1 – подвижная система отсчета

V1 – скорость тела относительно подвижной системы отсчета (К1)

V – скорость подвижной системы отсчета (К1) относительно неподвижной системы отсчета (К2)

Преобразование координат и времени

Закон сложения скоростей является следствием преобразований координат и времени.

Пусть частица в момент времени t’ находится в точке (x’, y’, z’), а через малое время Δt’ в точке (x’ + Δx’, y’ + Δy’, z’ + Δz’) системы отсчета K’. Это два события в истории дви­жущейся частицы. Имеем:

Δx’ = vx’Δt’,

где
vx’ — x-я компонента скорости частицы в системе K’.

Аналогичные соотношения имеют место для остальных компонент.

Разности координат и промежутки времени (Δx, Δy, Δz, Δt) преобразуются так же, как координаты:

Δx = Δx’ + VΔt’,

Δy = Δу’,

Δz = Δz’,

Δt = Δt’.

Отсюда следует, что скорость той же частицы в системе K будет иметь компоненты:

vx = Δx / Δt = (Δx’ + VΔt’) / Δt = vx’ + V,

vy = vy’,

vz = vz’.

Это закон сложения скоростей. Его можно выразить в векторной форме:

v̅ = v̅’ + V

(координатные оси в системах K и K’ параллельны).

Закон сложения ускорений для поступательного движения

При поступательном движении тела относительно подвижной системы отсчёта и подвижной системы отсчёта относительно неподвижной, вектор ускорения материальной точки (тела) относительно неподвижной системы отсчёта $\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\ {\overrightarrow{a}}_{АБС}$ (абсолютное ускорение) является суммой вектора ускорения тела относительно подвижной системы отсчета ${\overrightarrow{a}}_r=\frac{d{\overrightarrow{v}}_r}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ОТН}$ (относительного ускорения) и вектора ускорения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной ${\overrightarrow{a}}_е=\frac{d{\overrightarrow{v}}_е}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ПЕР}$ (переносного ускорения):

\[{\overrightarrow{a}}_{АБС}={\overrightarrow{a}}_{ОТН}+{\overrightarrow{a}}_{ПЕР}\]

В общем случае, когда движение материальной точки (тела) является криволинейным, его в каждый момент времени можно представить как комбинацию поступательного движения материальной точки (тела) относительно подвижной системы отсчёта со скоростью \( {\overrightarrow{v}}_r \), и вращательного движения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной с угловой скоростью \( {\overrightarrow{\omega }}_e \). В этом случае, при сложении ускорений, наряду с относительным и переносным ускорением необходимо учитывать и ускорение Кориолиса \( a_c=2{\overrightarrow{\omega }}_e\times {\overrightarrow{v}}_r \), которое характеризует изменение относительной скорости, вызванное переносным движением, и изменение переносной скорости, вызванное относительным движением.

Теорема Кориолиса

Вектор ускорения материальной точки (тела) относительно неподвижной системы отсчёта \( \overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\ {\overrightarrow{a}}_{АБС} \) (абсолютное ускорение) является суммой вектора ускорения тела относительно подвижной системы отсчета \( {\overrightarrow{a}}_r=\frac{d{\overrightarrow{v}}_r}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ОТН} \) (относительного ускорения), вектора ускорения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной \( {\overrightarrow{a}}_е=\frac{d{\overrightarrow{v}}_е}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ПЕР} \) (переносного ускорения), и кориолисова ускорения \( a_c=2{\overrightarrow{{\mathbf \omega }}}_e\times {\overrightarrow{v}}_r={\overrightarrow{a}}_{КОР} \):

\[{\overrightarrow{a}}_{АБС}={\overrightarrow{a}}_{ОТН}+{\overrightarrow{a}}_{ПЕР}+{\overrightarrow{a}}_{КОР}\]

Абсолютное перемещение равно сумме относительного и переносного перемещений.

Перемещение тела в неподвижной системе отсчета равно сумме перемещений: тела в подвижной системе отсчета и самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Вторая капля оторвалась от крыши через несколько секунд после того, как оторвалась первая капля. Как движется вторая капля относительно первой? Сопротивлением воздуха пренебречь.

За неподвижную систему отсчёта возьмём землю, за подвижную систему отсчёта — первую каплю, а за наблюдаемое тело — вторую каплю. Отметим, что подвижная система отсчета движется поступательно.

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, то на каждую из капель будет действовать лишь одна сила тяжести, сообщающая каждой капле ускорение (относительно земли), равное ускорению свободного падения g.

Следовательно, абсолютное ускорение (ускорение второй капли относительно земли) равно g, и переносное ускорение (ускорение первой капли относительно земли) также равно g. По закону сложения ускорений, относительное ускорение (ускорение второй капли относительно первой) равно нулю, значит, вторая капля движется равномерно относительно первой.

вторая капля движется относительно первой равномерно.

Жесткий диск вращается с постоянной угловой скоростью $\overrightarrow{{\mathbf \omega }}$ вокруг оси, укрепленной на столе. По диску движется точка А с постоянной относительно стола скоростью $\overrightarrow{v}$.

Определить скорость ${\overrightarrow{v}}_r$ и ускорение ${\overrightarrow{a}}_r$ частицы А относительно диска в момент, когда радиус-вектор, характеризующий ее положение по отношению к оси вращения, равен $\overrightarrow{{\mathbf \rho }}$.

Относительная скорость точки А $\ {\overrightarrow{v}}_r=\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{{\mathbf \omega }}}_e\times \overrightarrow{{\mathbf \rho }}$.

Поскольку скорость точки $\overrightarrow{v}$ относительно стола постоянна, то её абсолютное движение равномерно, и $\overrightarrow{a}=0$

Отсюда

\[{\overrightarrow{a}}_r=-\left({\overrightarrow{a}}_e+{\overrightarrow{a}}_c\right)=-\left(2{\overrightarrow{{\mathbf \omega }}}_e\times {\overrightarrow{v}}_r+{{\mathbf \omega }}2\overrightarrow{{\mathbf \rho }}\right)=2\overrightarrow{v}\times {\overrightarrow{{\mathbf \omega }}}_e-{{\mathbf \omega }}2\overrightarrow{{\mathbf \rho }}\]

Запишите теорему сложения ускорений для поступательного движения материальной точки.

Ускорение Кориолиса определяется как:

\[ {\overline{a}}_k=2\left[{\overline{\omega }}_e{\overline{v}}_r\right] \]

Модуль $\left|{\overline{a}}_k\right|$ равен:

\[\left|{\overline{a}}_k\right|=2\left|{\overline{\omega }}_e\right|\left|{\overline{v}}_r\right|{\sin \alpha \ }\]

где $\alpha $ – угол между векторами ${\overline{\omega }}_e$ и ${\overline{v}}_r$.

Из выражения (2.2) следует, что ${\overline{a}}_k$=0, когда переносное движение является поступательным. В этом случае движение подвижной системы отсчета не имеет вращательной компоненты, переносная угловая скорость в любой момент времени равна нулю:

\[{\overline{\omega }}_e\equiv 0 ,\]

тогда в любой момент времени равно нулю ускорение Кориолиса. Теорема сложения ускорений принимает вид:

\[\overline{a}={\overline{a}}_e+{\overline{a}}_r .\]

$\overline{a}={\overline{a}}_e+{\overline{a}}_r$

• Абсолютная скорость мухи, ползущей по радиусу вращающейся граммофонной пластинки, равна сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, с которой её переносит пластинка за счёт своего вращения.
• Если человек идёт по коридору вагона со скоростью 5 километров в час относительно вагона, а вагон движется со скоростью 50 километров в час относительно Земли, то человек движется относительно Земли со скоростью 50 + 5 = 55 километров в час, когда идёт по направлению движения поезда, и со скоростью 50 — 5 = 45 километров в час, когда он идёт в обратном направлении.
• Если человек в коридоре вагона движется относительно Земли со скоростью 55 километров в час, а поезд со скоростью 50 километров в час, то скорость человека относительно поезда 55 — 50 = 5 километров в час.
• Если волны движутся относительно берега со скоростью 30 километров в час, а корабль также со скоростью 30 километров в час, то волны движутся относительно корабля со скоростью 30 — 30 = 0 километров в час, то есть они становятся неподвижными.

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

Источник: https://calcsbox.com/post/zakon-slozenia-skorostej.html

I. Механика

Предлагаю игру: выбрать предмет в комнате и описать его местонахождение. Выполнить это так, чтобы угадывающий не смог ошибиться. Вышло? А что выйдет из описания, если другие тела не использовать? Останутся выражения: “слева от…”, “над …” и подобное. Положение тела можно задать только относительно какого-нибудь другого тела.

Местонахождение клада: “Стань у восточного угла крайнего дома села лицом на север и, пройдя 120 шагов, повернись лицом на восток и пройди 200 шагов. В этом месте вырой яму в 10 локтей и найдешь 100 слитков золота”. Клад найти невозможно, иначе его давно откопали бы.

Почему? Тело, относительно которого совершается описание не определено, неизвестно в каком селе находится тот самый дом. Необходимо точно определиться с телом, которое возьмется за основу нашего будущего описания. Такое тело в физике называется телом отсчета. Его можно выбрать произвольно.

Например, попробуйте выбрать два различных тела отсчета и относительно их описать местонахождение компьютера в комнате. Выйдет два непохожих друг на друга описания.

Система координат

Рассмотрим картинку. Где находится дерево, относительно велосипедиста I, велосипедиста II и нас, смотрящих на монитор?

Относительно тела отсчета – велосипедист I – дерево находится справа, относительно тела отсчета – велосипедист II – дерево находится слева, относительно нас оно впереди.

Одно и то же тело – дерево, находящееся постоянно в одном и том же месте, одновременно и “слева”, и “справа” и “впереди”. Проблема не только в том, что выбраны различные тела отсчета.

Рассмотрим его расположение относительно велосипедиста I.

На этом рисунке дерево справа от велосипедиста I

На этом рисунке дерево слева от велосипедиста I

Дерево и велосипедист не меняли своего месторасположения в пространстве, однако дерево одновременно может быть “слева” и “справа”. Для того, чтобы избавиться от неоднозначности описания самого направления, выберем определенное направление за положительное, противоположное выбранному будет отрицательным.

Выбранное направление обозначают осью со стрелкой, стрелка указывает положительное направление. В нашем примере выберем и обозначим два направления. Слева направо (ось, по которой движется велосипедист), и от нас внутрь монитора к дереву – это второе положительное направление.

Если первое, выбранное нами направление, обозначить за X, второе – за Y, получим двухмерную систему координат.

Относительно нас велосипедист движется в отрицательном направлении по оси X, дерево находится в положительном направлении по оси Y

Относительно нас велосипедист движется в положительном направлении по оси X, дерево находится в положительном направлении по оси Y

А теперь определите, какой предмет в комнате находится в 2 метрах в положительном направлении по оси X (справа от вас), и в 3 метрах в отрицательном направлении по оси Y (позади вас). (2;-3) – координаты этого тела. Первой цифрой “2” принято обозначать расположение по оси X, вторая цифра “-3” указывает расположение по оси Y.

Она отрицательная, потому что по оси Y находится не в стороне дерева, а в противоположной стороне. После того, как выбрано тело отсчета и направления, месторасположение любого предмета будет описано однозначно. Если вы повернетесь спиной к монитору, справа и позади вас будет уже другой предмет, но и координаты у него будут другие (-2;3).

Таким образом, координаты точно и однозначно определяют расположение предмета.

Пространство, в котором мы живем, – пространство трех измерений, как говорят, трехмерное пространство. Кроме того, что тело может находится “справа” (“слева”), “впереди” (“позади”), оно может быть еще “выше” или “ниже” вас. Это третье направление – принято обозначать его осью Z

Можно ли выбирать не такие направления осей? Можно. Но нельзя менять их направления в течение решения, например, одной задачи. Можно ли выбрать другие названия осей? Можно, но вы рискуете тем, что вас не поймут другие, лучше так не поступать. Можно ли поменять местами ось X с осью Y? Можно, но не путайтесь в координатах: (x;y).

При прямолинейном движении тела для определения его положения достаточно одной координатной оси.

Для описания движения на плоскости используется прямоугольная система координат, состоящая из двух взаимно перпендикулярных осей (декартовая система координат).

С помощью трехмерной системы координат можно определить положение тела в пространстве.

Подробнее о системе координат и проекциях

Система отсчета

Каждое тело в любой момент времени занимает определенное положение в пространстве относительно других тел. Определять его положение уже умеем. Если с течением времени положение тела не изменяется, то оно покоится.

Если же с течением времени положение тела изменяется, то это означает, что тело движется. Все в мире происходит где-то и когда-то: в пространстве (где?) и во времени (когда?).

Если к телу отсчета, системе координат, которые определяют положение тела, добавить способ измерения времени – часы, получим систему отсчета. При помощи которой можно оценить движется или покоится тело.

Относительность движения

Космонавт вышел в открытый космос. В состоянии покоя или движения он находится? Если рассматривать его относительно друга космонавта, находящегося рядом, он будет покоиться.

А если относительно наблюдателя на Земле, космонавт движется с огромной скоростью. Аналогично с поездкой в поезде. Относительно людей в поезде вы неподвижно сидите и читаете книгу.

Но относительно людей, которые остались дома, вы двигаетесь со скоростью поезда.

Примеры выбора тела отсчета, относительно которого на рисунке а) поезд движется (относительно деревьев), на рисунке б) поезд покоится относительно мальчика.

Сидя в вагоне, ожидаем отправления. В окне наблюдаем за электричкой на параллельном пути. Когда она начинает двигаться, трудно определить кто движется – наш вагон или электричка за окном. Для того, чтобы определиться, необходимо оценить движемся ли мы относительно других неподвижных предметов за окном. Мы оцениваем состояние нашего вагона относительно различных систем отсчета.

Изменение перемещения и скорости в разных системах отсчета

Перемещение и скорость изменяются при переходе из одной системы отсчета в другую.

Скорость человека относительно земли (неподвижной системы отсчета) различная в первом и втором случаях.

Правило сложения скоростей: Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета – это векторная сумма скорости тела относительно подвижной системы отсчета и скорости подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Аналогично вектора перемещения. Правило сложения перемещений: Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета – это векторная сумма перемещения тела относительно подвижной системы отсчета и перемещения подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Пусть человек идет по вагону по направлению (или против) движения поезда. Человек – тело. Земля – неподвижная система отсчета. Вагон – подвижная система отсчета.

Изменение траектории в разных системах отсчета

Траектория движения тела относительна. Например, рассмотрим пропеллер вертолета, спускающегося на Землю. Точка на пропеллере описывает окружность в системе отсчета, связанного с вертолетом. Траектория движения этой точки в системе отсчета, связанной с Землей, представляет собой винтовую линию.

Поступательное движение

Движение тела – это изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени. Каждое тело имеет определенные размеры, иногда разные точки тела находятся в разных местах пространства. Как же определить положение всех точек тела?

НО! Иногда нет необходимости указывать положение каждой точки тела. Рассмотрим подобные случаи. Например, это не нужно делать, когда все точки тела движутся одинаково.

Одинаково движутся все токи чемодана, машины.

Движение тела, при котором все его точки движутся одинаково, называется поступательным

Материальная точка

Не нужно описывать движение каждой точки тела и тогда, когда его размеры очень малы по сравнению с расстоянием, которое оно проходит. Например, корабль, преодолевающий океан.

Астрономы при описании движения планет и небесных тел друг относительно друга не учитывают их размеров и их собственное движение.

Несмотря на то, что, например, Земля громадная, относительно расстояния до Солнца она ничтожно мала.

Нет необходимости рассматривать движение каждой точки тела, когда они не влияют на движение тела всего целиком. Такое тело можно представлять точкой. Все вещество тела как бы сосредотачиваем в точку. Получаем модель тела, без размеров, но она имеет массу. Это и есть материальная точка.

Одно и то же тело при одних его движениях можно считать материальной точкой, при других – нельзя. Например, когда мальчик идет из дома в школу и при этом проходит расстояние 1 км, то в этом движении его можно считать материальной точкой. Но когда тот же мальчик выполняет зарядку, то точкой его считать уже нельзя.

Рассмотрим движущихся спортсменов

В этом случае можно спортсмена моделировать материальной точкой

В случае прыжка спортсмена в воду (рисунок справа) нельзя моделировать его в точку, так как от любого положения рук и ног зависит движение всего тела

Главное запомнить

1) Положение тела в пространстве определяется относительно тела отсчета;2) Необходимо задать оси (их направления), т.е. систему координат, которая определяет координаты тела;3) Движение тела определяется относительно системы отсчета;4) В разных системах отсчета скорость тела может быть разной;

5) Что такое материальная точка

Сложение скоростей

Более сложная ситуация сложения скоростей. Пусть человек переправляется на лодке через реку. Лодка – это исследуемое тело. Неподвижная система отсчета – земля. Подвижная система отсчета – река.

Скорость лодки относительно земли – это векторная сумма . Находится по закону параллелограмма, как гипотенуза двух катетов.

Упражнения

Мимо стоящего велосипедиста проезжает колонна движущихся с одинаковой скоростью машин. Движется ли каждая из машин относительно велосипедиста? Движется ли машина относительно другой машин? Движется ли велосипедист относительно машины?

Относительно велосипедиста каждая машина движется. Машина относительно другой машины покоится. Велосипедист движется относительно машины.

Из центра горизонтально расположенного вращающегося диска по его поверхности пущен шарик. Каковы траектории шарика относительно Земли и диска?

Относительно Земли – спираль, относительно диска – прямая.

Чему равно перемещение какой-либо точки, находящейся на краю диска радиусом R при его повороте относительно подставки на 600? на 1800? Решить в системах отсчета, связанных с подставкой и диском.

В системе отсчета, связанной с подставкой, перемещения равны R и 2R. В системе отсчета, связанной с диском, перемещение все время равно нулю.

Почему дождевые капли в безветренную погоду оставляют наклонные прямые полосы на стеклах равномерно движущегося поезда?

В системе отсчета, связанной с Землей, траектория капли – вертикальная линия. В системе отсчета, связанной с поездом, движение капли по стеклу есть результат сложения двух прямолинейных и равномерных движений: поезда и равномерного падения капли в воздухе. Поэтому след капли на стекле наклонный.

Каким образом можно определить скорость бега, если тренироваться на беговой дорожке со сломанным автоматическим определением скорости? Ведь относительно стен зала не пробегаешь ни одного метра.

Определить скорость беговой ленты относительно стен зала.

Эскалатор метро движется вверх со скоростью 0,75 м/с. а) С какой скоростью и в каком направлении надо идти по эскалатору, чтобы быть все время на уровне одного из фонарей освещения туннеля? б) С какой скоростью относительно поднимающейся лестницы надо было бы передвигаться, чтобы опускаться вниз со скоростью пассажиров, неподвижно стоящих на другой опускающейся лестнице?

а) Вниз со скоростью 0,75 м/с; б) 1,5 м/с

Какую систему координат следует выбрать (одномерную, двухмерную, трехмерную) для определения положения таких тел: 1. трактор в поле; 2. поезд; 3. люстра в комнате; 4. лифт; 5. подводная лодка;

6. шахматная фигура

1. двухмерную; 2. одномерную; 3. двухмерную; 4. одномерную; 5. трехмерную;

6. двухмерную

Источник: http://fizmat.by/kursy/kinematika/otnositelnost

Основные понятия кинематики. Скорость. Средняя скорость. Относительная скорость. Сложение перемещений и скоростей

Ки­не­ма­ти­ка – раз­дел фи­зи­ки, в ко­то­ром да­ёт­ся опи­са­ние ме­ха­ни­че­ско­го дви­же­ния без вы­яс­не­ния при­чин, ко­то­рые при­во­дят к этому дви­же­нию.

Ме­ха­ни­че­ское дви­же­ние – это из­ме­не­ние вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния тел или ча­стей тела.

Ме­ха­ни­че­ское дви­же­ние можно на­блю­дать толь­ко от­но­си­тель­но дру­гих тел. В раз­лич­ных си­сте­мах от­счё­та фи­зи­че­ские ве­ли­чи­ны, ха­рак­те­ри­зу­ю­щие дви­же­ние, и ха­рак­тер дви­же­ния могут быть раз­лич­ны­ми.

На­при­мер, ав­то­мо­биль дви­жет­ся по до­ро­ге. В ав­то­мо­би­ле на­хо­дят­ся люди. Люди дви­жут­ся вме­сте с ав­то­мо­би­лем по до­ро­ге. То есть люди пе­ре­ме­ща­ют­ся в про­стран­стве от­но­си­тель­но до­ро­ги.

Но от­но­си­тель­но са­мо­го ав­то­мо­би­ля люди не дви­жут­ся.

Си­сте­ма от­счё­та, от­но­си­тель­но ко­то­рой опи­сы­ва­ет­ся дви­же­ние, со­сто­ит из:

1. тела от­счё­та – услов­но непо­движ­ное тело;

2. си­сте­мы ко­ор­ди­нат и часов, свя­зан­ной с телом от­счё­та.

При дви­же­нии тело опи­сы­ва­ет неко­то­рую линию, ко­то­рая на­зы­ва­ет­ся тра­ек­то­ри­ей дви­же­ния.

Тра­ек­то­рия дви­же­ния – это мно­же­ство точек, ко­то­рые опре­де­ля­ют по­ло­же­ние тела в тот или иной мо­мент вре­ме­ни.

Ос­нов­ные виды ме­ха­ни­че­ско­го дви­же­ния:

1. по­сту­па­тель­ное – это дви­же­ние тела, при ко­то­ром пря­мая, со­еди­ня­ю­щая две любые точки тела, пе­ре­но­сит­ся всё время па­рал­лель­но пер­во­на­чаль­но­му по­ло­же­нию (кузов ав­то­мо­би­ля со­вер­ша­ет по­сту­па­тель­ное дви­же­ние при дви­же­нии ав­то­мо­би­ля по до­ро­ге);

2. вра­ща­тель­ное – это дви­же­ние тела во­круг неко­то­рой оси. При таком дви­же­нии все точки тела со­вер­ша­ют дви­же­ние по окруж­но­стям, цен­тром ко­то­рых яв­ля­ет­ся эта ось (ко­лё­са со­вер­ша­ют вра­ща­тель­ное дви­же­ние при дви­же­нии ав­то­мо­би­ля по до­ро­ге);

3. ко­ле­ба­тель­ное – дви­же­ние, при ко­то­ром тело про­хо­дит по­ло­же­ние рав­но­ве­сия, каж­дый раз дви­га­ясь в на­прав­ле­нии, про­ти­во­по­лож­ном преды­ду­ще­му (ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние со­вер­ша­ет ма­ят­ник в часах).

Ско­рость яв­ля­ет­ся ос­нов­ной ха­рак­те­ри­сти­кой ме­ха­ни­че­ско­го дви­же­ния. Ско­рость – это быст­ро­та пе­ре­ме­ще­ния.

Пе­ре­ме­ще­ние – век­тор­ная ве­ли­чи­на, свя­зы­ва­ю­щая две любые точки тра­ек­то­рии.

 , где

 – ско­рость;  – пе­ре­ме­ще­ние;  – время, за­тра­чен­ное на пе­ре­ме­ще­ние.

Ско­рость – это век­тор­ная ве­ли­чи­на, все­гда на­прав­лен­ная по ка­са­тель­ной к тра­ек­то­рии дви­же­ния в каж­дой её точке.

Сред­няя ско­рость – от­но­ше­ние всего прой­ден­но­го пути к за­тра­чен­но­му на это дви­же­ние вре­ме­ни.

,

где  – сред­няя ско­рость;  – весь прой­ден­ный путь;  – всё за­тра­чен­ное время.

По­ня­ти­ем от­но­си­тель­ной ско­ро­сти поль­зу­ют­ся в том слу­чае, когда рас­смат­ри­ва­ют дви­же­ние од­но­го тела по от­но­ше­нию к дру­го­му телу.

На­при­мер, дви­жут­ся два ав­то­мо­би­ля нав­стре­чу друг другу, их от­но­си­тель­ная ско­рость будет равна сумме ско­ро­стей (см. Рис. 1).

Если бы эти ав­то­мо­би­ли дви­га­лись в одном на­прав­ле­нии, то от­но­си­тель­ная ско­рость была бы равна ско­ро­сти вто­ро­го минус ско­рость пер­во­го (см. Рис. 1).

Рис. 1. От­но­си­тель­ная ско­рость

В любом слу­чае, от­но­си­тель­ная ско­рость равна век­тор­ной раз­но­сти ско­ро­стей:

Сло­же­ние пе­ре­ме­ще­ний и ско­ро­стей про­во­дит­ся по пра­ви­лу сло­же­ния век­то­ров. Век­то­ры скла­ды­ва­ют­ся по пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка или по пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма (см. Рис. 2).

Рис. 2. Пра­ви­ла сло­же­ния век­то­ров

 Задача 1

По­ло­ви­ну пути пе­ше­ход про­шёл со ско­ро­стью . А вто­рую – со ско­ро­стью . Чему равна сред­няя ско­рость пе­ше­хо­да?

Дано: ;  – путь, прой­ден­ный на пер­вом участ­ке; ;  – путь, прой­ден­ный на вто­ром участ­ке

Найти: 

Ре­ше­ние

Общее время со­сто­ит из двух от­рез­ков вре­ме­ни:

Время пер­вой по­ло­ви­ны пути:

Время вто­рой по­ло­ви­ны пути:

Под­став­ля­ем дан­ное вы­ра­же­ние в фор­му­лу сред­ней ско­ро­сти:

Ответ: .

 Задача 2

Лодка, раз­ви­ва­ю­щая от­но­си­тель­но воды ско­рость 5 м/с, пе­ре­се­ка­ет реку ши­ри­ной 40 м по на­и­крат­чай­ше­му пути. Найти время пе­ре­пра­вы, если ско­рость те­че­ния реки – 3 м/с.

Дано: ; ; 

Найти: 

Ре­ше­ние

Для того чтобы пе­ре­сечь реку, то есть прой­ти из пунк­та А в пункт В, необ­хо­ди­мо на­пра­вить лодку про­тив те­че­ния реки под опре­де­лён­ным углом (см. Рис. 3). При этом к ско­ро­сти лодки  до­ба­вит­ся ско­рость те­че­ния реки  и ре­зуль­ти­ру­ю­щая ско­рость  будет на­прав­ле­на по пря­мой АВ. Это можно за­пи­сать в виде сле­ду­ю­ще­го век­тор­но­го со­от­но­ше­ния:

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Так как , то тре­уголь­ник ско­ро­стей яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Если по­смот­реть на циф­ро­вые зна­че­ния сто­рон этого тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 4), то ока­жет­ся, что это еги­пет­ский тре­уголь­ник. Если ги­по­те­ну­за равна 5, а один из ка­те­тов – 3, то вто­рой катет равен 4.

Рис. 4. Еги­пет­ский тре­уголь­ник

Сле­до­ва­тель­но, ско­рость, с ко­то­рой лодка пе­ре­се­ка­ет речку, равна 4:

Время пе­ре­пра­вы на­хо­дит­ся по фор­му­ле:

Ответ: .

 Задача 3

Найти от­но­си­тель­ную ско­рость двух ав­то­мо­би­лей, дви­жу­щих­ся по двум до­ро­гам, пе­ре­се­ка­ю­щим­ся под , в одном на­прав­ле­нии со ско­ро­стя­ми по 30 м/с. Ва­ри­ан­ты от­ве­тов: 1. 0 м/с; 2. 30 м/с; 3. 60 м/с; 4. 45 м/с.

Дано: ; 

Найти: 

Ре­ше­ние

От­но­си­тель­ная ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля по от­но­ше­нию к пер­во­му равна:

На ри­сун­ке 5 вы­пол­нен схе­ма­ти­че­ский ри­су­нок к за­да­че.

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Для того чтобы найти раз­ность двух век­то­ров, необ­хо­ди­мо вы­ра­же­ние от­но­си­тель­ной ско­ро­сти пред­ста­вить в таком виде:

Тогда к концу век­то­ра  при­кла­ды­ва­ет­ся на­ча­ло век­то­ра  и эти век­то­ра со­еди­ня­ют­ся. По­лу­чен­ный век­тор яв­ля­ет­ся век­то­ром от­но­си­тель­ной ско­ро­сти.

Тре­уголь­ник ско­ро­стей яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, с углом при вер­шине , сле­до­ва­тель­но:

Ответ: 2. 30 м/с.

Источник: https://100ballov.kz/mod/page/view.php?id=2798

Траектория

Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.

Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.

Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.

Путь

Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.

Вектор перемещения

Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.

Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.

На рис. 1.1:

Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.

Правило сложения векторов

Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.

На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:

а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения (см.рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ.

Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно Аx и Вx.

Длина отрезка АxВx на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

Sx = AxBxВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, Sx). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

Sx = x – x0

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

Sy = y – y0 Sz = z – z0

Здесь x0, y0, z0 — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х0 и у0, то есть А(х0, у0). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

Sx = x – x0 Sy = y – y0

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

АС = sx CB = sy

По теореме Пифагора

S2 = Sx2 + Sy2

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ.

Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен.

В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.

Источник: http://av-mag.ru/physics/index.php/mechanics/kinematika/trajectory/

Сложение скоростей и ускорений

Движение точки М (или тела) $\overrightarrow{r}$ по отношению к основной системе координат называется абсолютным движением. Движение точки М (или тела) $\overrightarrow{{\mathbf \rho }}$ по отношению к подвижной системе координат называется относительным движением.

Переносным называется движение ${\overrightarrow{r}}_O$ подвижной системы координат относительно основной, неподвижной.

Абсолютная скорость $\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$ и абсолютное ускорение $\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$ точки M – это скорость и ускорение точки M в основной системе координат.

Рисунок 1. Переносное и относительное движение

Закон сложения скоростей

Определение

Вектор скорости материальной точки (тела) относительно неподвижной системы отсчёта $\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}={\overrightarrow{v}}_{АБС}$ (абсолютная скорость) является суммой вектора скорости тела относительно подвижной системы отсчета ${\overrightarrow{v}}_r=\frac{d\overrightarrow{{\mathbf \rho }}}{dt}={\overrightarrow{v}}_{ОТН}$ (относительной скорости) и вектора скорости подвижной системы отсчёта относительно неподвижной ${\overrightarrow{v}}_е=\frac{d\overrightarrow{r_O}}{dt}={\overrightarrow{v}}_{ПЕР}$ (переносной скорости):

\[{\overrightarrow{v}}_{АБС}={\overrightarrow{v}}_{ОТН}+{\overrightarrow{v}}_{ПЕР}\]

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Данный закон сложения скоростей справедлив только при скоростях, много меньших скорости света в вакууме. При релятивистских скоростях он имеет другую форму.

Если подвижная система отсчёта является вращающейся, то под переносной скоростью понимается скорость той точки подвижной системы отсчёта, в которой в данный момент находится тело.

Аналогично можно сформулировать и закон сложения ускорений для случая поступательного движения тела относительно подвижной системы отсчёта и подвижной системы отсчёта относительно неподвижной:

Закон сложения ускорений для поступательного движения

Определение

При поступательном движении тела относительно подвижной системы отсчёта и подвижной системы отсчёта относительно неподвижной, вектор ускорения материальной точки (тела) относительно неподвижной системы отсчёта $\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\ {\overrightarrow{a}}_{АБС}$ (абсолютное ускорение) является суммой вектора ускорения тела относительно подвижной системы отсчета ${\overrightarrow{a}}_r=\frac{d{\overrightarrow{v}}_r}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ОТН}$ (относительного ускорения) и вектора ускорения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной ${\overrightarrow{a}}_е=\frac{d{\overrightarrow{v}}_е}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ПЕР}$ (переносного ускорения):

\[{\overrightarrow{a}}_{АБС}={\overrightarrow{a}}_{ОТН}+{\overrightarrow{a}}_{ПЕР}\]

В общем случае, когда движение материальной точки (тела) является криволинейным, его в каждый момент времени можно представить как комбинацию поступательного движения материальной точки (тела) относительно подвижной системы отсчёта со скоростью ${\overrightarrow{v}}_r$, и вращательного движения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной с угловой скоростью ${\overrightarrow{\omega }}_e$. В этом случае, при сложении ускорений, наряду с относительным и переносным ускорением необходимо учитывать и ускорение Кориолиса $a_c=2{\overrightarrow{\omega }}_e\times {\overrightarrow{v}}_r$, которое характеризует изменение относительной скорости, вызванное переносным движением, и изменение переносной скорости, вызванное относительным движением.

Теорема Кориолиса

Теорема

Вектор ускорения материальной точки (тела) относительно неподвижной системы отсчёта $\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\ {\overrightarrow{a}}_{АБС}$ (абсолютное ускорение) является суммой вектора ускорения тела относительно подвижной системы отсчета ${\overrightarrow{a}}_r=\frac{d{\overrightarrow{v}}_r}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ОТН}$ (относительного ускорения), вектора ускорения подвижной системы отсчёта относительно неподвижной ${\overrightarrow{a}}_е=\frac{d{\overrightarrow{v}}_е}{dt}={\overrightarrow{a}}_{ПЕР}$ (переносного ускорения), и кориолисова ускорения $a_c=2{\overrightarrow{{\mathbf \omega }}}_e\times {\overrightarrow{v}}_r={\overrightarrow{a}}_{КОР}$:

\[{\overrightarrow{a}}_{АБС}={\overrightarrow{a}}_{ОТН}+{\overrightarrow{a}}_{ПЕР}+{\overrightarrow{a}}_{КОР}\]

Задача 1

Вторая капля оторвалась от крыши через несколько секунд после того, как оторвалась первая капля. Как движется вторая капля относительно первой? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

За неподвижную систему отсчёта возьмём землю, за подвижную систему отсчёта — первую каплю, а за наблюдаемое тело — вторую каплю. Отметим, что подвижная система отсчета движется поступательно.

Поскольку сопротивлением воздуха пренебрегаем, то на каждую из капель будет действовать лишь одна сила тяжести, сообщающая каждой капле ускорение (относительно земли), равное ускорению свободного падения g.

Следовательно, абсолютное ускорение (ускорение второй капли относительно земли) равно g, и переносное ускорение (ускорение первой капли относительно земли) также равно g. По закону сложения ускорений, относительное ускорение (ускорение второй капли относительно первой) равно нулю, значит, вторая капля движется равномерно относительно первой.

Ответ: вторая капля движется относительно первой равномерно.

Задача 2

Жесткий диск вращается с постоянной угловой скоростью $\overrightarrow{{\mathbf \omega }}$ вокруг оси, укрепленной на столе. По диску движется точка А с постоянной относительно стола скоростью $\overrightarrow{v}$.

Определить скорость ${\overrightarrow{v}}_r$ и ускорение ${\overrightarrow{a}}_r$ частицы А относительно диска в момент, когда радиус-вектор, характеризующий ее положение по отношению к оси вращения, равен $\overrightarrow{{\mathbf \rho }}$.

Решение

Относительная скорость точки А $\ {\overrightarrow{v}}_r=\overrightarrow{v}-{\overrightarrow{{\mathbf \omega }}}_e\times \overrightarrow{{\mathbf \rho }}$.

Поскольку скорость точки $\overrightarrow{v}$ относительно стола постоянна, то её абсолютное движение равномерно, и $\overrightarrow{a}=0$

Отсюда

\[{\overrightarrow{a}}_r=-\left({\overrightarrow{a}}_e+{\overrightarrow{a}}_c\right)=-\left(2{\overrightarrow{{\mathbf \omega }}}_e\times {\overrightarrow{v}}_r+{{\mathbf \omega }}2\overrightarrow{{\mathbf \rho }}\right)=2\overrightarrow{v}\times {\overrightarrow{{\mathbf \omega }}}_e-{{\mathbf \omega }}2\overrightarrow{{\mathbf \rho }}\]

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/kinematika/slozhenie_skorostey_i_uskoreniy/