Основной закон в гидродинамике

Законы гидродинамики

Основной закон в гидродинамике

Определение 1

Гидродинамика – это раздел науки, исследующий законы взаимодействия жидкостей и реальных газов с неподвижными и движущимися поверхностями, что предполагает рассмотрение условий и уравнений равновесия и движение веществ.

Рисунок 1. Закон Пуазейля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Жидкость, в которой не появляются силы внутреннего трения при любом ее движении, называют в физике идеальной.

Другими словами, в идеальных элементах существуют только показатели нормального, постоянного давления, которые в основном определяются уровнем сжатия и температурой жидкости.

Модель наиболее подходящего вещества используют тогда, когда скорости изменения деформаций в жидкости крайне малы.

Давление в любой материальной точке покоящейся жидкости одинаково и равномерно во всех направлениях. Практическое использование гидродинамики чрезвычайно велико и разнообразно.

Гидродинамикой пользуются при моделировании самолетов и кораблей, расчете прочнейших трубопроводов, гидротурбин, насосов и водосливных плотин, при изучении морских течений и речных наносов.

Законы гидродинамики, которые составляют основу механических явлений, в значительной степени определяют характер течения тепловых и диффузионных процессов.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Замечание 1

Гидродинамические законы позволяют точно и преждевременно определять разность внутренних давлений, необходимую для дальнейшего перемещения определенного количества жидкости с установленной скоростью.

Уравнения Бернулли и постоянства расхода потока

Рисунок 2. Уравнение Бернулл. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Эти два уравнения являются мощной базой и главнейшими формулами гидродинамики. С их помощью возможно подойти к решению практически любой важной задачи во всех сферах науки.

Особое внимание необходимо уделить выводу уравнения Бернулли, а также уяснению его энергетического, физического и геометрического смысла.

Для улучшения усвоения и понимания данной формулы, а также возможностей ее использования в практических расчетах следует решить несколько задач и выполнить определенные лабораторные работы.

Определение 2

Произведение средней скорости потока идеальной жидкости на площадь неоднородного сечения при установившемся движении есть величина постоянная.

Уравнение неразрывности или постоянства потока является первым и основным законом гидродинамики, которое позволяет при секундном известном расходе установить скорость движения веществ в любом сечении потока и наоборот — точный расход жидкости при начальной скорости ее движения.

В свою очередь, уравнение Бернулли устанавливает тесную взаимосвязь скорости и давления в разнообразных средах одной и той же струи. Таким образом, обе формулы можно сформулировать следующим образом: сумма кинетической энергии и полный напор движущейся жидкости является главными параметрами движущейся жидкости.

Закон Пуазейля

Замечание 2

Закон Пуазейля представляет собой универсальную формулу для объемной скорости дальнейшего течения жидкости.

Он был создан экспериментально французским исследователем Пуазейлем, который изучал течение крови в кровеносных сосудах. Именно эту теорию часто называют одним из важнейших законов гидродинамики.

Закон Пуазейля непосредственно связывает объемную скорость течения идеальной жидкости с разностью внутреннего давления в начале и конце трубки как основной движущей силой потока, радиусом, вязкостью жидкости и длиной самой среды. Эту гипотезу зачастую используют в случае, если движение жидкости ламинарное.

Формула закона Пуазейля записывается следующим образом:

Такое положение показывает, что величина $Q$ всегда прямо пропорциональна разнице внутреннего давления $P_1 – P_2$ в начале и конце трубки. Если $P_1$ равняется $P_2$, тогда поток жидкости мгновенно прекращается.

Формула закона Пуазейля также показывает, что высокая вязкость жидкости приводит к:

  • автоматическому снижению объемного параметра направления жидкости;
  • весомым различиям объемной скорости веществ, протекающих через кровеносные сосуды;
  • к постепенному введению дополнительной величины – гидродинамического сопротивления.

Новые законы гидродинамики

Для более детального понимания турбулентности, как состояния равномерной среды, жидкости, газа, или их смесей, внутри которой формируются хаотические колебания скорости, давления, температуры и плотности, необходимо знать вновь открытые законы гидродинамики. Среди них теории галактик нашей Вселенной и образования планет.

Определение 3

Кинематическая и внутренняя вязкость водного или воздушного потока (внутреннее трение) – это характеристика реальных жидкостей, или газов, которые могут сопротивляться перемещению одной части элементов относительно другой.

При такой трансформации возникают определенные силы внутреннего трения, направленные исключительно по касательной к поверхности среды.

Пример 1

Например, новый закон энергетического потенциала материального тела, находящегося в пространстве, утверждает, что каждое физическое вещество (молекула воздуха или воды), которое будет находиться в разных пространствах, будет обладать разным коэффициентом энергии. Однако следует помнить, чтобы перенести любое тело из одной среды в другую, необходима работа, которая будет прямо пропорциональна полученной энергии, выделенной из иной среды.

При решении конкретной задачи в гидродинамике используют основные методы и законы механики, учитывая общие свойства идеальных жидкостей, получают правильное решение, позволяющее точно определить давление, скорость, и касательную напряжения в любой точке занятого элементом пространства. Это даёт уникальную возможность рассчитать силы взаимодействия между твердым телом и жидкостью. Из нового закона стало понятно, что даже при ламинарном движении частиц в реке каждый слой водного потока испытывает серьезные потери в работе, силе и энергии.

Если такой процесс проходит по переменному, нестабильному сечению горизонтальной трубы желательно учитывать еще общие потери в переменном сечении, которые включают:

  • потери мощности водного потока в ходе перемещения каждого слоя;
  • температурные убытки внутри водного потока;
  • потери энергии водного потока на движение каждого слоя;
  • потери времени на перемещение каждого слоя водного потока;
  • потери от физических свойств и кинематической силы жидкости.

Для точного и быстрого расчета водного потока, перемещающегося по переменному сечению трубопровода или устью реки, в гидродинамике был выведен второй закон Белашова, который устанавливает момент силы для дальнейшего движения одного потока или любой жидкой смеси.

Данные законы полностью соответствуют размерным единицам существующих физических величин и по ним возможно легко вычислить перемещение газовой смеси или воздушного потока, где на практике необходимо заменить плотность среды на плотность веществ, при этом все указанные выше потери будут выражены в Ньютонах.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/mehanika_sploshnyh_sred/zakony_gidrodinamiki/

Основы гидравлики

Основной закон в гидродинамике


Гидродинамикой называют раздел гидравлики, в котором изучается движение жидкости, обусловленное действием приложенных к ней внешних сил.

Состояние реальной движущейся жидкости в каждой ее точке характеризуется не только плотностью и вязкостью, но и скоростью частиц жидкости, а также гидродинамическим давлением.

Под частицей в гидродинамике понимают условно выделенный объем жидкости, который настолько мал, что можно пренебречь изменением его формы при движении.

При изучении законов движения реальной жидкости необходимо учитывать ее вязкость, что усложняет решение задач гидродинамики, поэтому рассмотрим вначале уравнения движения идеальной жидкости, а затем внесем в них поправки, учитывающие свойства реальной жидкости.

Основным объектом изучения гидродинамики является поток жидкости, под которым понимают движение массы жидкости, ограниченной полностью или частично какой-либо поверхностью (поверхностями).

Ограничивающая поверхность может быть твердой (стенки труб, берега и дно рек, каналов и т. д.

), жидкой (граница двух жидкостей с разными физическими свойствами) и газообразной (например, граница между поверхностью жидкости и атмосферой и т. п.).

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановившимся (нестационарным).

Установившимся называют движение, при котором давление и скорость жидкости в любой точке занятого ею пространства с течением времени не изменяются.

При неустановившемся движении в каждой точке пространства, занятом жидкостью, скорость и давление изменяются с течением времени.

Примером установившегося движения может послужить истечение жидкости из сосуда с поддерживаемым постоянно уровнем через коническую трубку (см. рис. 1). Скорость движения жидкости в разных сечениях трубки будет различаться, но в каждом из сечений эта скорость будет постоянной, не изменяющейся во времени.

Если же в подобном опыте уровень жидкости в сосуде не поддерживать постоянным, то движение жидкости по той же конической трубке будет иметь нестационарный (неустановившийся) характер, поскольку в сечениях трубки скорость не будет постоянной во времени (будет уменьшаться с понижением уровня жидкости в сосуде).

Движение жидкости может быть равномерным и неравномерным. Равномерным называют движение, при котором скорости в сходственных точках двух смежных сечений потока жидкости равны между собой. В противном случае движение неравномерное.

Если обратиться к предыдущему опыту с сосудом и конической трубкой, то можно заметить, что истечение жидкости через коническую трубку в обоих случаях (с постоянным и переменным уровнем в сосуде) равномерным не будет.

Коническая трубка имеет непостоянное сечение, и скорость жидкости при движении по ней будет непрерывно изменяться.

Если заменить в этом опыте коническую трубку цилиндрической, то движение жидкости в ней будет равномерным.

Различают напорное и безнапорное движение жидкости.

Если стенки полностью ограничивают поток жидкости, то движение жидкости называют напорным (например, перемещение жидкости по полностью заполненным трубам).

Если же ограничение потока стенками частичное (например, движение воды в реках, каналах), то такое движение называют безнапорным.
Напорные потоки иногда называют сплошь заполненными, а безнапорные – открытыми руслами.

Для того чтобы движение жидкости можно было считать полностью определенным, необходимо знать распределение величины и направления скорости частиц в потоке, а также зависимость этого распределения от времени.

Направление скоростей в потоке характеризуется линией тока.
Линия тока – воображаемая кривая, проведенная внутри потока жидкости таким образом, что скорости всех частиц, находящихся на ней в данный момент времени, касательны к этой кривой (см. рисунок).

Линия тока отличается от траектории тем, что последняя отражает путь какой-либо одной частицы за некоторый промежуток времени, тогда как линия тока характеризует направление движения совокупности частиц жидкости в данный момент времени.

При установившемся движении линии тока совпадает с траекториями движения частиц жидкости.

***



Если в поперечном сечении потока жидкости выделить элементарную площадку ΔS и провести через точки ее контура линии тока, то получится так называемая трубка тока (см. рисунок). Жидкость, находящаяся внутри трубки тока, образует элементарную струйку. Поток жидкости можно рассматривать как совокупность всех движущихся элементарных струек.

Живым сечением элементарной струйки называют поверхность, нормальную (перпендикулярную) к вектору скорости, т. е. к линии тока. Скорость движения частиц жидкости во всех точках каждого живого сечения элементарной струйки можно считать одинаковой ввиду незначительных размеров сечения, а сами сечения по той же причине можно считать плоскими.

Живое сечение потока определяют как сумму живых сечений элементарных струек, из которых он состоит. Следовательно, живое сечение потока представляет собой поверхность, во всех точках которой скорости частиц жидкости нормальны к элементам этой поверхности.

Следует отметить, что живое сечение может иметь форму плоской поверхности лишь для идеальной жидкости, в общем случае (для реальных жидкостей) оно имеет форму сложной криволинейной поверхности, т. е.

скорости частиц потока жидкости распределены в любом его живом сечении неравномерно.

Линию соприкосновения жидкости с твердыми стенками, ограничивающими поток в данном живом сечении, называют смоченным периметром (см. рисунок). Отношение площади живого сечения потока S к длине смоченного периметра χ называют гидравлическим радиусом потока жидкости:

R = S/χ.

Для труб круглого сечения, заполненных жидкостью, гидравлический радиус определяют по формуле:

R = d/4.

Аналогично определяют гидравлический радиус в трубах других сечений:

для эллиптических труб с осями a и b:

R = ab/[2/3(a + b) – √ab];

для трубы в виде равностороннего треугольника со стороной a:

R = a/4√3;

для трубы в виде прямоугольника со сторонами a и b:

R = ab/2(a + b);

для квадратной трубы со стороной a:

R = a/4.

Объем или масса жидкости, протекающей через живое сечение потока в единицу времени, называют объемным (Q) или массовым (m) расходом жидкости.
Объемный расход жидкости Q измеряется в м3/с или л/с, массовый расход m – в кг/с. Объемный расход связан с массовым расходом зависимостью Q = m/ρ.

Плотность жидкости может быть различной в разных участках потока, и даже в разных точках живого сечения, например, из-за неравномерности распределения температуры.

В общем случае непостоянной является и скорость в различных точках живого сечения потока: в центре потока она обычно больше, а у стенок, ограничивающих поток, – меньше (вплоть до полной остановки частиц).

В связи с этим вводят понятие средней скорости потока, которую определяют, как отношение расхода к площади живого сечения:

v = Q/S,   откуда   Q = vS.

***

Режимы движения жидкости и число Рейнольдса



Олимпиады и тесты

Источник: http://k-a-t.ru/gidravlika/5_gidrodinamika/index.shtml

Кратко о гидродинамике: уравнения движения

Основной закон в гидродинамике

Написав предыдущий пост, исторический и отчасти рекламный (хотя потенциальные абитуриенты такое вряд ли читают), можно перейти и к разговору «по существу». К сожалению, высокой степени популярности описания добиться вряд ли получится, но всё же постараюсь не устраивать курс сухих лекций.

Хотя, от сухости избавиться не удалось, да и пост писался в результате ровно месяц.

В нынешней публикации описаны основные уравнения движения идеальной и вязкой жидкости.

По возможности кратко рассмотрен их вывод и физический смысл, а также описаны несколько простейших примеров их точных решений. Увы, этими несколькими примерами доступные аналитически решения уравнений Навье-Стокса в значительной мере исчерпываются.

Напомню, что Институт Клэя отнёс доказательство существования и гладкости решений к проблемам тысячелетия. Гении уровня Перельмана и выше — задача вас ждёт.

Понятие сплошной среды

В, если можно так выразиться, «традиционной» гидродинамике, сложившейся исторически, фундаментом является модель сплошной среды. Она отвлекается от молекулярной структуры вещества, и описывает среду несколькими непрерывными полевыми величинами: плотностью, скоростью (определяемой через суммарный импульс молекул в заданном элементе объёма) и давлением.

Модель сплошной среды предполагает, что в любом бесконечно малом объёме содержится ещё достаточно много частиц (как принято говорить, термодинамически много — числа, близкие по порядку величины к числу Авогадро — 1023 шт.).

Таким образом, модель ограничена снизу дискретностью молекулярной структуры жидкости, что в задачах типичных пространственных масштабов совершенно несущественно.

Однако, такой подход позволяет описать не только воду в пробирке или водоёме, и оказывается куда более универсальным. Поскольку наша Вселенная на больших масштабах практически однородна, то, как ни странно, она начиная с некоторого масштаба превосходно описывается как сплошная среда, с учётом, конечно же, самогравитации.

Другими, более приземлёнными применениями сплошной среды являются описание свойств упругих тел, динамики плазмы, сыпучих тел. Также можно описывать топлу людей как сжимаемую жидкость.

Параллельно с приближением сплошной среды, в последние годы набирает обороты кинетическая модель, основанная на дискретизации среды на небольшие частицы, взаимодействующие между собой (в простейшем случае — как твердые шарики, отталкивающиеся при столкновении).

Такой подход возник в первую очередь благодаря развитию вычислительной техники, однако существенно новых результатов в чистую гидродинамику не превнёс, хотя оказался крайне полезен для задач физики плазмы, которая на микроуровне не является однородной, а содержит электроны и положительно заряженные ионы.

Ну и опять же для моделирования Вселенной.

Уравнение неразрывности. Закон сохранения массы

Самый элементарный закон. Пусть у нас есть какой-то совершенно произвольный, но макроскопический объём жидкости V, ограниченный поверхностью F (см. рис.). Масса жидкости внутри него определяется интегралом:

И пусть с жидкостью внутри него не происходит ничего, кроме движения. То есть, там нет химических реакций и фазовых переходов, нет трубок с насосами или чёрных дыр. Ну и всё происходит с маленькими скоростями и для малых масс вещества, потому никакой теории относительности, искривления пространства, самогравитации жидкости (она становится существенна на звёздных масштабах). И пусть сам объём и границы еего неподвижны. Тогда единственное, что может изменить массу жидкости в нашем объёме — это её перетекание через границу объёма (для определённости — пусть масса в объёме убывает):

где вектор j — поток вещества через границу. Точкой, напомним, обозначается скалярное произведение. Поскольку границы объёма, как было сказано, неподвижны, то производную по времени можно внести под интеграл. А правую часть можно преобразовать к такому же, как слева, интегралу по объёму по теореме Гаусса-Остроградского.

В итоге, в обеих частях равенства получается интеграл по одному и тому же совершенно произвольному объёму, что позволяет приравнять подинтегральные выражения и перейти к дифференциальной форме уравнения:

Здесь (и далее) использован векторный оператор Гамильтона. Образно говоря, это условный вектор, компоненты которого — операторы дифференцирования по соответствующим координатам.

С его помощью можно очень кратко обозначать разного рода операции над скалярами, векторами, тензорами высших рангов и прочей математической нечистью, основные среди которых — градиент, дивергенция и ротор.

Не буду останавливаться на них детально, поскольку это отвлекает от основной темы.

Наконец, поток вещества равен массе, переносимой через единичную площадку за единицу времени:

Окончательно, закон сохранения массы (называемый также уравнением неразрывности) для сплошной среды таков:

Это выражение наиболее общее, для среды, обладающей переменной плотностью. В реальности, эксперимент свидетельствует о крайне слабой сжимаемости жидкости и практически постоянном значении плотности, что с высокой точностью позволяет применять закон сохранения массы в виде условия несжимаемости: которое с не менее хорошей точностью работает и для газов, пока скорость течения мала по сравнению со звуковой.

Уравнение Эйлера. Закон сохранения импульса

Весь относительно громоздкий процесс колдовства преобразования интегралов, использованный выше, даёт нам не только уравнение неразрывности.

Точно такие же по сути преобразования позволяют выразить законы сохранения импульса и энергии, и получить в итоге уравнения для скорости жидкости и для переноса тепла в ней.

Однако пока не будем сильно торопиться, и займёмся не просто сохранением импульса, а даже сохранением импульса в идеальной несжимаемой жидкости — т.е. рассмотрим модель с полным отсутствием вязкости.

Рассуждения практически те же самые, только теперь нас интересует не масса, а полный импульс жидкости в том же самом объёме V. Он равен:

При тех же самых условиях, что и выше, импульс в объёме может меняться за счёт:

  • конвективного переноса — т.е. импульс «утекает» вместе со скоростью через границу
  • давления окружающих элементов жидкости
  • просто за счёт внешних сил, например — от силы тяжести.

Соответствующие интегралы (порядок отвечает списку) дают такое соотношение: Начнём их преобразовывать. Правда, для этого нужно воспользоваться тензорным анализом и правилами работы с индексами. Конкретнее, к первому и второму интегралам применяется теорема Гаусса-Остроградского в обобщённой форме (она работает не только для векторных полей). И если перейти к дифференциальной форме уравнения, то получится следующее:

Крестик в кружочке обозначает тензорное произведение, в данном случае — векторов.

В принципе, это уже уравнение Эйлера, однако его можно чуток упростить — ведь закон сохранения массы никто не отменял. Раскрыв здесь скобки в дифференциальных операторах и приведя затем подобные слагаемые, мы увидим, что три слагаемых благополучно собираются в уравнение неразрывности, и потому дают в сумме ноль. Итоговое уравнение оказывается таким:

Если перейти в систему отсчёта, связанную с движущейся жидкостью (не будем заострять внимание на том, как это делается), мы увидим, что уравнение Эйлера выражает второй закон Ньютона для единицы объёма среды.

Учёт вязкости. Уравнение Навье-Стокса

Идеальная жидкость, это, конечно, хорошо (правда, всё равно точно не решается), но во многих случаях учёт вязкости необходим. Даже в той же конвекции, в течении жидкости по трубам.

Без вязкости вода вытекала бы из наших кранов с космическими скоростями, а малейшая неоднородность температуры в воде приводила бы к её крайне быстрому и бурному перемешиванию. Потому давайте учтём сопротивление жидкости самой себе. Дополнить уравнение Эйлера можно различными (но эквивалентными, конечно же) путями.

Воспользуемся базовой техникой тензорного анализа — индексной формой записи уравнения. И пока также отбросим внешние силы, чтобы не путались под руками / под ногами / перед глазами (нужное подчеркнуть).

При таком раскладе всё, кроме производной по времени, можно собрать в виде дивергенции одного такого тензора: По смыслу, это плотность потока импульса в жидкости. К нему и нужно добавить вязкие силы в виде ещё одного тензорного слагаемого.

Поскольку они явно приводят к потере энергии (и импульса), то они должны вычитаться: Идя обратно в уравнение с таким тензором, мы получим обобщённое уравнение движения вязкой жидкости: Оно допускает любой закон для вязкости. Принято считать очевидным, что сопротивление зависит от скорости движения.

Вязкость же, как перенос импульса между участками жидкости с различными скоростями, зависит от градиента скорости (но не от самой скорости — тому мешает принцип относительности). Если ограничиться разложением этой зависимости до линейных слагаемых, получится вот такой жутковатый объект: в котором величина перед производной содержит 81 коэффициент.

Однако, используя ряд совершенно разумных предположений об однородности и изотропности жидкости, от 81 коэффициента можно перейти всего к двум, и в общем случае для сжимаемой среды, тензор вязких напряжений равен: где η (эта) — сдвиговая вязкость, а ζ (зета или дзета) — объёмная вязкость. Если же среда ещё и несжимаема, то достаточно одного коэффициента сдвиговой вязкости, т.к. второе слагаемое при этом уходит. Такой закон вязкости носит название закона Навье, а полученное при его подстановке уравнение движения — это уравнение Навье-Стокса:

Точные решения

Главной проблемой гидродинамики является отсутствие точных решений её уравнений.

Как бы с этим ни боролись, но получить действительно всеобщих результатов не удаётся до сих пор, и, напомню, вопрос существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса входит в список Проблем тысячелетия института Клэя.

Однако, несмотря на столь грустные факты, некоторые результаты есть. Здесь будут представлены далеко не все, а лишь самые простые случаи.

Потенциальные течения

Особый интерес представляют течения, в которых жидкость не завихряется. Для такой ситуации можно отказаться от рассмотрения векторного поля скорости, поскольку она выражается через градиент скалярной функции — потенциала.

Потенциал же удовлетворяет хорошо изученному уравнению Лапласа, решение которого полностью определяется тем, что задано на границах рассматриваемой области: Более того, при отсутствии вязкости из уравнения Эйлера можно однозначно выразить и давление, что вовсе замечательно и приводит нас к полному решению задачи.

Ах, если бы так было всегда… то гидродинамики, наверное, уже бы и не было как современной и актуальной отрасли. Дополнительно можно упростить задачу предположением, что течение жидкости двумерно — скажем, всё движется в плоскости (x,y), и ни одна частица не перемещается вдоль оси z.

Можно показать, что в таком случае скорость может быть также заменена скалярной функцией (на этот раз — функцией тока): которая при потенциальном течении удовлетворяет условиям Коши-Лагранжа из теории функций комплексной переменной и воспользоваться соответствующим математическим аппаратом.

Полностью совпадающим с аппаратом электростатики. Теория потенциальных течений развита на высоком уровне, и в принципе хорошо описывает большой спектр задач.

Простые течения вязкой жидкости

Решения для вязкой жидкости чаще всего удаётся получить, когда из уравнения Навье-Стокса благодаря свойствам симметрии задачи выпадает нелинейное слагаемое.

Сдвиговое течение Куэтта

Самая элементарная задачка. Канал с неподвижной нижней и подвижной верхней стенкой, которая движется равномерно с некоторой скоростью. На границах жидкость прилипает к ним, так что скорость жидкости равна скорости границы.

Этот результат является экспериментальным фактом, и как-то даже авторы первых экспериментов не упоминаются, просто — по совокупности экспериментов. В такой ситуации от уравнения Навье-Стокса останется уравнение вида v'' = 0, и потому профиль скорости в канале окажется линейным: Данная задача является практически базовой для теории смазки, т.к.

позволяет непосредственно определить силу, которую требуется приложить к верхней стенке для её движения с конкретной скоростью.

Течение Пуазейля

Вторая по элементарности — ламинарное течение в канале. Или в трубе.

Результат оказывается один — профиль скорости является параболическим: На основе решения Пуазейля можно определить расход жидкости через сечение канала, но, правда, только при ламинарном течении и гладких стенках.

С другой стороны, для турбулентного потока и шероховатых стенок точных решений нет, а есть лишь приближённые эмпирические закономерности.

Стекание слоя жидкости по наклонной плоскости

Тут — почти как в задаче Пуазейля, только верхняя граница жидкости будет свободной. Если предположить, что по ней не бегут никакие волны, и вообще сверху нет трения, то профиль скорости будет практически нижней половинкой предыдущего рисунка.

Правда, если из полученной зависимости вычислить скорость течения для средней равнинной речки, она составит около 10 км/с, и вода должна самопроизвольно отправляться в космос. Наблюдаемые в природе низкие скорости течения связаны с развитой завихренностью и турбулентностью потока, которые эффективно увеличивают вязкость воды примерно в 1 млн. раз.

В следующем посте планируется рассказать о законе сохранения энергии и соответствующих ему уравнениях переноса тепла при течении жидкости.

Только зарегистрированные пользователи могут участвовать в опросе. Войдите, пожалуйста.

  • физика
  • механика жидкостей
  • fluid dynamics
  • гидродинамика

Источник: https://habr.com/post/171327/

Гидродинамика

Основной закон в гидродинамике

Запрос «Гидроаэродинамика» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Гидродина́мика (от др.-греч. ὕδωρ «вода» + динамика) — раздел физики сплошных сред, изучающий движение идеальных и реальных жидкостей и газа и их силовое взаимодействие с твёрдыми телами.

Как и в других разделах физики сплошных сред, прежде всего осуществляется переход от реальной среды, состоящей из большого числа отдельных атомов или молекул, к абстрактной сплошной среде, для которой и записываются уравнения движения.

История гидродинамики[ | ]

Первые попытки исследования сопротивления среды движению тела были сделаны Леонардо да Винчи и Галилео Галилеем.

Принято считать, что Галилео проводил опыты по сбрасыванию шаров различной плотности с Пизанской башни, данный опыт описывается в учебной литературе и поэтому известен всем со школьных времён (достоверной информации, подтверждающей проведение данного опыта Галилео Галилеем на сегодняшний день не имеется).

В 1628 году Бенедетто Кастелли издал маленькую работу, в которой он очень хорошо для своего времени объяснил несколько явлений при движении жидкости в реках и каналах. Однако, в работе содержалась ошибка, так как он предполагал скорость вытекания жидкости из сосуда пропорциональной расстоянию отверстия до поверхности воды.

Торричелли заметил, что вода, выливающаяся из фонтана поднимается на высоту порядка уровня воды питающего водоёма. На основе этого он доказал[источник не указан 1312 дней] теорему, о пропорциональности скорости вытекания квадратному корню из расстояния от отверстия до поверхности жидкости.

Теорема была экспериментально проверена на воде, вытекающей из различных насадок. Едме Мариотто в труде, который был опубликован после его смерти впервые объяснял несоответствие теории и экспериментов при помощи учёта эффектов трения.

В труде Исаака Ньютона «philosophie naturalis principia mathematica» для объяснения снижения скорости проточной воды использовались именно понятия вязкости и трения. Также в работах Ньютона развивались представления Мариотто о потоке воды как о наборе трущихся нитей. Эта теория уже сопоставима с современной теорией переноса движения в жидкостях.

После издания Ньютоном своих работ учёные всего мира начали пользоваться его законами для объяснения различных физических явлений. Спустя 60 лет Леонард Эйлер получил аналог второго закона Ньютона для жидкости.

В 1738 году Даниил Бернулли издал работу, где объяснялась теория движения жидкостей.

Он использовал два предположения: поверхности жидкости, вытекающей из сосуда всегда остаётся горизонтальной[источник не указан 1312 дней] и то, что скорость опускания слоев воды обратно пропорциональна их ширине. В отсутствии демонстраций этих принципов теория доверия не получила.

Колин Маклорен и Иоанн Бернулли хотели создать более общую теорию, зависящую только от фундаментальных законов Ньютона. Научное сообщество сочло их методы недостаточно строгими. Теория Даниила Бернулли встретила сопротивление со стороны Жана Лерона Даламбера, разработавшего свою теорию.

Он применил принцип, полученный Якобом Бернулли, который сводил законы движения тел к закону их равновесия. Даламбер применил этот принцип для того, чтобы описать движение жидкостей. Он использовал те же гипотезы, что и Даниил Бернулли, хотя его исчисление было выстроено в другой манере.

Он рассматривал в каждый момент движения слоя жидкости составленным из движения в прошлый момент времени и движения, который он потерял. Законы равновесия между потерями и потерями движения дали уравнения, представляющее уравнение движение жидкости.

Оставалось выразить уравнениями движение частицы жидкости в любом заданном направлении.

Эти уравнения были найдены Даламбером из двух принципов: прямоугольный канал, выделенный в массе жидкости, находящейся в равновесии, сам находится в равновесии и часть жидкости, переходящая из одного места в другое сохраняет тот же самый объём, если она является несжимаемой и изменяет объём с учётом законов упругости, в противном случае. Этот метод был перенят и доведён до совершенства Леонардом Эйлером. Решение вопроса о движении жидкостей было произведено с помощью метода частных производных Эйлера. Это исчисление было впервые применено к движению воды Даламбером. Метод позволил представить теорию движения жидкостей в формулировке, не ограниченной никакими особыми предположениями.

Идеальная среда[ | ]

Основная статья: Идеальная жидкость

С точки зрения механики, жидкостью называется вещество, в котором в равновесии отсутствуют касательные напряжения. Если движение жидкости не содержит резких градиентов скорости, то касательными напряжениями и вызываемым ими трением можно пренебречь и при описании течения.

Если вдобавок малы градиенты температуры, то можно пренебречь и теплопроводностью, что и составляет приближение идеальной жидкости. В идеальной жидкости, таким образом, рассматриваются только нормальные напряжения, которые описываются давлением.

В изотропной жидкости, давление одинаково по всем направлениям и описывается скалярной функцией.

Гидродинамика ламинарных течений[ | ]

Основная статья: Ламинарное течение

Гидродинамика ламинарных течений изучает поведение регулярных решений уравнений гидродинамики, в которых первые производные скорости по времени и по пространству являются конечными. В некоторых случаях со специальной геометрией уравнения гидродинамики могут быть решены точно. Некоторые наиболее важные задачи этого раздела гидродинамики:

Турбулентность[ | ]

Основная статья: Турбулентность

Основная статья: Уравнения Навье — Стокса

Турбулентность — название такого состояния сплошной среды, газа, жидкости, их смесей, когда в них наблюдаются хаотические колебания мгновенных значений давления, скорости, температуры, плотности относительно некоторых средних значений, за счёт зарождения, взаимодействия и исчезновения в них вихревых движений различных масштабов, а также линейных и нелинейных волн, солитонов, струй. Происходит их нелинейное вихревое взаимодействие и распространение в пространстве и времени. Турбулентность возникает, когда число Рейнольдса превышает критическое.

Турбулентность может возникать и при нарушении сплошности среды, например, при кавитации (кипении). При опрокидывании и разрушении волны прибоя возникает многофазная смесь воды, воздуха, пены. Мгновенные параметры среды становятся хаотичными.

Существуют три зоны турбулентности, в зависимости от переходных чисел Рейнольдса: зона гладкостенного трения, переходная зона(смешанного трения)и зона гидравлически шероховатых труб (зона квадратического трения). Все магистральные нефте- и газопроводы эксплуатируются в зоне гидравлически шероховатых труб.

Турбулентное течение, по-видимому, может быть описано системой нелинейных дифференциальных уравнений. В неё входит уравнения Навье — Стокса, неразрывности и энергии.

Моделирование турбулентности — одна из наиболее трудных и нерешённых проблем в гидродинамике и теоретической физике. Турбулентность всегда возникает при превышении некоторых критических параметров: скорости и размеров обтекаемого тела или уменьшения вязкости.

Она также может возникать при сильно неравномерных граничных и начальных условиях на границе обтекаемого тела. Или, может исчезать при сильном ускорении потока на поверхности, при сильной стратификации среды.

Поскольку турбулентность характеризуется случайным поведением мгновенных значений скорости и давления, температуры в данной точке жидкости или газе, то это означает, что при одних и тех же условиях детальная картина распределения этих величин в жидкости будет различной и практически никогда не повторяется.

Поэтому, мгновенное распределение скорости в различных точках турбулентного потока обычно не представляет интереса, а важными являются осреднённые величины.

Проблема описания гидродинамической турбулентности заключается, в частности, и в том, что пока не удаётся на основании только уравнений гидродинамики предсказать, когда именно должен начинаться турбулентный режим и что именно в нём должно происходить без экспериментальных данных.

На суперкомпьютерах удаётся моделировать только некоторые типы течений. В результате, приходится довольствоваться лишь феноменологическим, приближенным описанием. До конца XX столетия два результата, описывающие турбулентное движение жидкости считались незыблемыми — «универсальный» закон фон Кармана-Прандтля о распределении средней локальной скорости течения жидкости (вода, воздух) в гладких трубах при высоких значениях числа Рейнольдса и теория Колмогорова-Обухова о локальной структуре турбулентности.

Значительный прорыв в теории турбулентности при очень высоких числах Рейнольдса связан с работами Андрея Николаевича Колмогорова 1941 и 1962 годов, который установил, что при некотором интервале чисел Рейнольдса локальная статистическая структура турбулентности носит универсальный характер, зависит от нескольких внутренних параметров и не зависит от внешних условий.

Сверхзвуковая гидродинамика[ | ]

Основная статья:

Этот раздел изучает поведение течений при их скоростях вблизи или превышающих скорость звука в среде. Отличительной особенностью такого режима является то, что при нём возникают ударные волны.

В определённых случаях, например, при детонации, структура и свойства ударной волны усложняются. Интересен также случай, когда скорости течений столь высоки, что становятся близкими к скорости света.

Такие течения наблюдаются во многих астрофизических объектах, и их поведение изучает .

Тепломассообмен[ | ]

Основная статья: Тепломассообмен

Часто течения жидкостей сопровождается неравномерным распределением температуры (остывание тел в жидкости, течение горячей жидкости по трубам).

При этом свойства жидкости (плотность, вязкость, теплопроводность) могут сами зависеть от локальной температуры. В таком случае задача о распространении тепла и задача движения жидкости становятся связанными.

Дополнительная сложность таких задач состоит в том, что зачастую простейшие решения становятся неустойчивыми…

Геофизическая гидродинамика[ | ]

Основная статья: Геофизическая гидродинамика

Посвящена исследованию явлений и физических механизмов естественных крупномасштабных турбулентных течений на вращающейся планете (динамики атмосферы, динамики течений в морях и океанах, циркуляции в жидком ядре, происхождение и изменчивость планетарного магнитного поля).

Магнитная гидродинамика[ | ]

Основная статья: Магнитогидродинамика

Описывает поведение электропроводящих сред (жидких металлов, электролитов, плазмы) в магнитном поле.

Теоретическая основа магнитной гидродинамики — уравнения гидродинамики с учётом электрических токов и магнитных полей в среде и уравнений Максвелла. В средах с большой проводимостью (горячая плазма) и (или) большими размерами () к обычному газодинамическому давлению добавляются и , которое приводит к появлению волн Альфве́на.

С помощью магнитной гидродинамики описываются многие явления космической физики: планетарные и звёздные магнитные поля, происхождение магнитных полей галактик, солнечный цикл, на солнце, солнечные пятна.

Прикладная гидродинамика[ | ]

Сюда относятся различные конкретные научно-технические задачи. Среди прочих задач упомянем

Реология[ | ]

Основная статья: Реология

Реология — раздел гидродинамики, изучающий поведение нелинейных жидкостей, то есть таких жидкостей, для которых зависимости скорости течения от приложенной силы нелинейна. Примеры нелинейных жидкостей — пасты, гели, стекловидные тела, псевдопластики, вискоэластики. Реология активно используется в материаловедении, в геофизике.

Нерешенные проблемы гидродинамики[ | ]

В гидродинамике есть сотни нерешённых задач, в том числе задача о вытекании жидкости из ванны по трубе[1].

Литература[ | ]

  • Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: Из-во иностранной литературы.— 1963
  • Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. Л.: Изд. ЛГУ.— 1978
  • Иванов Б. Н.

     Мир физической гидродинамики: От проблем турбулентности до физики космоса. Изд.2,— М.: URSS, 2010.— 240 с.

  • Falkovich, G (2011), Fluid Mechanics (A short course for physicists), Cambridge Univ Press, ISBN 978-1-107-00575-4,   * Фалькович Г. (2014), Современная Гидродинамика, РХД,  

Ссылки[ | ]

Источник: https://encyclopaedia.bid/%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%8F/%D0%93%D0%B8%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0

По закону
Добавить комментарий